Об'єм призми

                                         Об'єм призми

       Розглянемо спочатку трикутну призму (рис. 61). Доповнимо її до паралелепіпеда, як зазначено на рисунку. Точка О є центром симетрії паралелепіпеда. Тому добудована призма симетрична вихідній відносно точки О, отже, має об'єм, що дорівнює об'єму вихідної призми. Таким чином, об'єм побудованого паралелепіпеда дорівнює подвоєному об'єму даної призми.

      Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту. Площа його основи дорівнює подвоєній площі трикутника ABC, а висота дорівнює висоті вихідної призми. Звідси заключаємо, що об'єм вихідної призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.

Рис. 61

Рис. 62

      Розглянемо тепер довільну призму (рис. 62). Розіб'ємо її основу на трикутники. Нехай — один із цих трикутників. Проведемо через довільну точку Xтрикутника пряму, паралельну боковим ребрам. Нехай — відрізок цієї прямої, який належить призмі. Коли точка X описує трикутник , відрізки , заповнюють трикутну призму. Побудувавши таку призму для кожного трикутника ми одержимо розбивку даної призми на трикутні. Всі ці призми мають одну й ту саму висоту, рівну висоті вихідної призми.

      Об'єм даної призми дорівнює сумі об'ємів трикутних призм, її складових. По доведеному об'єм трикутної призми дорівнює добутку площі її основи на висоту. Отже, об'єм вихідної призми дорівнює:,
де , , …, — площі трикутників, на які розбита основа призми, а H — висота призми.             Сума площ трикутників дорівнює площі S основи даної призми. Тому, V=SH.

      Отже, об'єм призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.